iOSの「メッセージ」アプリで、特定の相手とのメッセージだけを、通知しないように設定できます。
必要な通知は受け取りつつ、不要な通知をオフにできます。
▲ 「メッセージ」アプリで、通知を停止したいスレッド（会話）を開きます。
▲ 「詳細」をタップします。
▲ 「通知を停止」スイッチをオン（緑の状態）にします。
これで、この会話の新規メッセージは、自分には通知されなくなります。
▲ 通知を停止したスレッドには、「おやすみモード」と同じ三日月アイコンが表示されます。
通知の停止はグループチャットでも有効です。
通知は来なくなりますが、アプリのアイコンに表示されるバッジで、新着メッセージがあることを確認できます。
（情報はiOS 9.3時点のものです）
公式サポート情報：iPhone、iPad、または iPod touch でメッセージを使う – Apple サポート
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